Beaucoup d'étudiants ont du mal à trouver la distance entre deux points sur une ligne droite, il est plus difficile pour eux quand ils doivent trouver la distance entre deux points le long d'une courbe.
Cet article, par la voie d'un problème d'exemple montrera comment trouver cette distance.
Pour trouver la distance entre deux points A (X1, Y1) et B (x2, y2) sur une ligne droite sur le plan xy, nous utilisons la formule de la distance, qui est ...
d (AB) = v [(x1 y1) ^ 2 + (x2-y2) ^ 2]. Nous allons maintenant montrer comment cette formule fonctionne par un exemple de problème. S'il vous plaît cliquer sur l'image pour voir comment cela se fait.
Maintenant, nous allons trouver la distance entre deux points A et B sur une courbe définie par une fonction f (x) sur un intervalle fermé [a, b]. Pour trouver cette distance nous devrions utiliser la formule s = L'intégrale, entre la limite inférieure, un, et la limite supérieure, b, de l'intégrale v (1 + [f '(x)] ^ 2) en ce qui concerne à la variable de intégration, dx. S'il vous plaît cliquer sur l'image pour une meilleure vue.
La fonction que nous allons utiliser comme un problème d'exemple, sur l'intervalle fermé, [1,3], est ...
f (x) = (1/2) [(x + 4) c [(x + 4) ^ 2-1] -ln [(x + 4) + c [(x + 4) ^ 2-1]] ]. la dérivée de cette fonction, est ...
f '(x) = v [(x + 4) ^ 2-1], nous allons maintenant concilier les deux côtés de la fonction de la dérivée. Voilà [f '(x)] ^ 2 = [v [(x + 4) ^ 2-1]] ^ 2, qui nous donne
[F '(x)] ^ 2 = (x + 4) ^ 2 - 1. Nous substituons maintenant cette expression dans la formule de longueur de l'arc / Integral de l'art. puis d'intégrer.
S'il vous plaît cliquer sur l'image pour une meilleure compréhension.
Ensuite, par la substitution, nous avons ce qui suit:
s = l'intégrale, entre la limite inférieure, une, et la limite supérieure, 3, de l'intégrale v (1 + [f '(x)] ^ 2) = l'intégrale v (1 + (x + 4) ^ 2 - 1).
qui est égale à v ((x + 4) ^ 2). En effectuant la primitive sur cette Integrand, et par le théorème fondamental du calcul, on obtient ...
{[(X ^ 2) / 2] + 4x} dans lequel on substitue premier la limite supérieure, 3, et à partir de ce résultat, on soustrait le résultat de la substitution de la limite inférieure, 1. Cela est {[(3 ^ 2) / 2] + 4 (3)} - {[(1 ^ 2) / 2] + 4 (1)} qui est égale à {[(9/2) + 12]} - {[(1/2 ) + 4]} = {(33/2) - (9/2)} qui est égal à (24/2) = 12. Ainsi, la longueur d'arc / distance de la fonction / courbe sur l'intervalle [1,3], est, 12 unités.