Déterminer la longueur de l'arc balayé par le chemin de la manière suivante. Notons d'abord que le chemin balaye un angle différentiel d ?, le rayon change dr.
Notez que le plus petit dr est, plus le chemin retrace sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle de hauteur dr et rd de base ?. Le théorème de Pythagore donne alors la longueur de l'hypoténuse d'être? [R ^ 2 d? ^ 2 + dr ^ 2]. Tirez d ^? 2 de sous le radical pour obtenir d? ? [R ^ 2 + (dr / d?) ^ 2]. Depuis r et? sont égaux, alors dr / d? = 1. Donc, intégrant la longueur différentielle de chemin par rapport à? de 0 à? devient une question de l'intégration? d? ? [? 1 ^ 2].
La solution de cette équation peuvent être trouvées dans les tableaux intégrales. Il est un peu long. La longueur de l'arc se révèle être (? / 2) [(? / 2) ^ 2 + 1] + 0,5 ln (? +? (1 +?)). Cela ressort à environ 3,72, ce qui est logique puisque la circonférence d'un cercle de rayon? est 2? ^ 2. Couper ce en deux pour obtenir le demi-cercle. Puis représentent la petite longueur de l'arc de? = 0 à? / 2, et 3,72 semble être une réponse raisonnable.